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    分组分配问题是排列、组合中的重问题,分组的三种情形完全非平均分组,平均分组,部分平均分组,分配的两种情形定向分配,非定向分配。并总结出解决分组分配问题的具体方法分组问题的解法是先有序分组,再无序处理;分配问题的解法是边分组边分配,先分组再分配。先分组再分配是一种常用方法。 关键词先分组再分配;边分组边分配 分组分配问题是排列组合教学中的一个重点和难点。某些排列组合问题看似非分配问题,实际上可运用分配问题的方法来解决。下面就排列组合中的分组分配问题,谈谈自己在教学中的体会和做法。 一、分组问题 将n个不同元素按照某些条件分成m组,求共有多少种不同分组方法的问题,称为分组问题,分完全非平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。 结论.一般地,n个不同的元素分成p组,各组内元素数目分别为,其中组内元素数目相等的组数分别为,组与组之间是无序的,那么分组方法数是。 如果其中仅有组内元素数目相等,那么分组方法数是。 例本不同的书,分为三组,求在下列条件下各有多少种不同的分配方法? 每组本 一组本,一组本,一组本 一组本,另外两组各本 解析分组与顺序无关,是分组问题。方法是先有序分组,再无序处理。 属于平均分组问题。先分组,分组数是=(种),这种分组实际上重复了次。我们不妨把本不同的书写上、b、c、d、e、f、g、h、k六个字母,考察以下六种分法(,b,c)(d,e,f)(g,h,k)、(,b,c)(g,h,k)(d,e,f)、(d,e,f)(g,h,k)(,b,c)、(g,h,k)(d,e,f)(,b,c)、(g,h,k)(,b,c)(d,e,f)、(g,h,k)(d,e,f)(,b,c)。由于书是均匀分组的,每组本,组的本数一样,又与顺序无关,所以这种分法是同一种分法。以上的分组方法实际上加入了组的顺序,因此还应取消分组的顺序,即除以组数的全排列数,所以分法是=(种)。 属于完全非平均分组问题。先分组,分组数是,那么还不除以?由于每组的书的本数是不一样的,因此不会出现相同的分法,即共有=(种)。 属于部分平均分组问题。先分组,分组数是=(种),那么其中有没有重复的分法呢?我们发现,其中两组的书的本数都是本,因此这两组有了顺序,而与本书的那一组,由于书的本数不一样,不可能重复。所以实际分法是=(种)。 二、分配问题 n个不同元素按照某些条件分配给m个不同对象,求共有多少种不同分配方法的问题称为分配问题,分定向分配和非定向分配两种。 结论.定向分配问题。一般地,n个不同的元素分配给成p个不同对象,各对象内元素数目分别为,各对象分配的元素个数是确定的,那么分配方法数是. 结论.非定向分配问题.一般地,n个不同的元素分配给成p个不同对象,各对象内元素数目分别为,其中组内元素数目相等的组数分别为,组与组之间是无序的。但各对象分配的元素个数是没有限制的,因此将分组方法数再乘以不同对象数的全排列数即可。那么分配方法数是.. (一)定向分配问题 例本不同的书,分给甲、乙、丙三人,求在下列条件下各有多少种不同的分配方法? 甲本、乙本、丙本 甲本、乙本、丙本 甲本、乙本、丙本 解析由于分配给三人,每人分几本是一定的,属定向分配问题,因此,分配方法如下 方法边分组边分配——边分边发,分了发完 由分步计数原理,第一步分给甲,第二步分给乙,第三步分给丙 =(种);=(种);=(种). 方法先分组再分配——先分再发,该啥发啥。 先分为三组,再将这三组分给甲、乙、丙三人,又因甲、乙、丙三个人分配的书本数是一定的。具体分法如下 把本不同的书均分给甲、乙、丙三人,先对本不同的书作出均分成三组,有 种分法,后发放给甲、乙、丙三人,有种方法,所以,共有种不同的方法。先对本书进行分组,分成本本本的三组,共有=种,后发放给甲、乙、丙三人,甲得本,乙得本、丙得本,所以共有=种。 把本不同的书均分给甲、乙、丙三人,先对本不同的书作出本本本的三组,有种分法,后发放给甲、乙、丙三人,有种方法,所以,共有种不同的方法。 (二)不定向分配问题 例本不同的书,分给甲、乙、丙三人,求在下列条件下各有多少种不同的分配方法? 每人本 一人本、一人本、一人本 一人本、一人本、一人本 解析由于分配给三人,每人分几本是不定的,属不定向分配问题。因此,分配方法是先分组再分配——先组合再全排列。 由于分配给三人,同一本书给不同的人是不同的分法,因此,实际上可看作“分为三组,再将这三组分给甲、乙、丙三人”,但又不确定甲、乙、丙三个各分配多少,因此将分组方法数再乘以组数的全排列数即可。(种),=(种),=(种). 变形练习 本不同的书,按照以下求分组分配,各有多少种不同的分法?⑴一堆本,一堆本,一堆本;⑵甲得本,乙得本,丙得本;⑶甲、乙、丙三人,一人本,一人本,一人本;⑷平均分给甲、乙、丙、丁四人;⑸平均分成四堆;⑹分成三堆,一堆本,一堆本,一堆本;⑺给三人一人本,一人本,一人本。 三、分组与分配的综合应用 例个不同的小球,分给高一年级的个班,每班至少一个小球,共有多少 种不同的分法? 解析六个小球和高一三个班都有“归宿”,即球分完,班级不能空手。因此,考虑先 组再分配。 先将个不同的小球,先分成三组,有三类分法一组个、一组个、一组个,则有(种);每组个,则有(种);两组各本,另一组本,则有(种)。所以,++(种)。再考虑排列,分配到给高一三个班,有种方法。所以,共有种不同的方法。 变形练习 .把个不同的小球放在编号为的三个盒子里,求每个盒子都不空,共有多 少种不同的方法? .四个不同的小球放入编号为,,,的四个盒子中,恰有一个空盒的放法有多少种? .有间不同的房间,人去住,恰有一间空着,有多少种不同住法种数? .名旅客安排在个房间,每个房间至少安排一名旅客,则不同的安排方法种数共有多少? .六本不同的书,分给甲、乙、丙三人,每人至少一本,有多少种分法? 点评在排列、组合中分组分配问题一般按照“先分组再分配”的原则,对于不同元素的分配问题,区分两点一在分组时区分是均分还是非均分或部分均分,二在分配时区分是定向分配还是非定向分。先分组再分配,可看成是有两步才能完成,一步是分组,二步是发放。对于定向分配,采用边分组边分配较为简便。这样对排列组合中的分配问题就更加明确,更加容易理解。 参考文献 []人民教育出版社数学室编著.普通高中课程标准实验教科书(数学必).北京人民教育出版社,,. []章晓军.解题善于捕捉隐含条件.中学数学,,. 注本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文

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